行星运动的前两个定律
物体穿越空间的路径称为其轨道。 开普勒最初假设行星的轨道是圆形，但这样做使他无法找到与布拉赫观测结果一致的轨道。 通过研究火星的数据，他最终发现那颗行星的轨道呈现出一个有点扁平的圆或椭圆的形状。 在圆旁边，椭圆是最简单的闭合曲线，属于称为圆锥截面的一系列曲线（图\(\PageIndex{2}\)）。
图\(\PageIndex{2}\) Conic Sections。圆、椭圆、抛物线和双曲线都是由平面与圆锥体的交点形成的。 这就是为什么这样的曲线被称为圆锥截面的原因。
你可能还记得在数学课上，在圆圈中，中心是一个特殊的点。 从圆心到圆上任意位置的距离完全相同。 在椭圆中，从椭圆内部两个特殊点到椭圆上任一点的距离之和总是相同的。 椭圆内的这两个点被称为其焦点（单数：焦点），这是开普勒为此目的发明的词。
此属性建议了一种绘制椭圆的简单方法（图\(\PageIndex{3}\)）。 我们将一圈绳子的末端缠绕在两根大头钉上，穿过一张纸推入画板上，这样绳子就会松弛。 如果我们将一支铅笔推到绳子上，拉紧绳子，然后将铅笔滑到大头钉周围的绳子上，由此产生的曲线就是椭圆。 无论铅笔在哪里，从铅笔到两根大头钉的距离之和都是恒定长度，即绳子的长度。 大头钉位于椭圆的两个焦点处。
椭圆的最宽直径称为其长轴。 这个距离（即从椭圆中心到一端的距离）的一半是长半轴，通常用于指定椭圆的大小。 例如，火星轨道的半长轴（也是行星与太阳的平均距离）为2.28亿千米。
图：\(\PageIndex{3}\)绘制椭圆。 (a) 我们可以通过将两个大头钉（白色物体）推入绘图板上的一张纸上，然后在大头钉周围循环一根绳子来构造一个椭圆。 每个大头钉代表椭圆的焦点，其中一个大头钉是太阳。 用铅笔拉紧绳子，然后在大头钉周围移动铅笔。 弦的长度保持不变，因此从椭圆上任一点到焦点的距离之和始终是恒定的。 (b) 在本图中，每个长半轴都用 a 表示。距离 2a 称为椭圆的长轴。
椭圆的形状（圆度）取决于两个焦点相对于长轴的距离有多近。 焦点与半长轴长度之间的距离之比称为椭圆的偏心率。
如果将焦点（或大头钉）移动到相同位置，则焦点之间的距离将为零。 这意味着偏心率为零，椭圆只是一个圆；因此，圆可以称为偏心率为零的椭圆。 在圆圈中，长半轴就是半径。
接下来，我们可以通过改变大头钉的间距（只要它们之间的距离不超过绳子的长度）来制作不同伸长度（或延伸长度）的椭圆。 偏心率越大，椭圆的长度就越长，最大偏心率为1.0，当椭圆变为 “平坦” 时，另一个极点是圆形。
椭圆的大小和形状完全由其长半轴和偏心率指定。 根据布拉赫的数据，开普勒发现火星有一个椭圆轨道，太阳位于一个焦点（另一个焦点是空的）。 火星轨道的偏心率仅为0.1左右；其轨道按比例绘制，实际上与圆圈没有区别，但事实证明，这种差异对于理解行星运动至关重要。
开普勒在他的第一定律中概括了这个结果，并说所有行星的轨道都是椭圆。 这是人类思想史上的一个决定性时刻：为了拥有一个可以接受的宇宙，没有必要只有圈子。 宇宙可能比希腊哲学家想要的要复杂一些。
开普勒第二定律涉及每颗行星沿椭圆移动的速度，也称为轨道速度。 通过布拉赫对火星的观测，开普勒发现行星在靠近太阳时会加速，而在离开太阳时会减速。 他通过想象太阳和火星通过一条直的弹性线连接来表达这种关系的确切形式。 当火星离太阳更近时（图中的位置 1 和 2\(\PageIndex{4}\)），弹性线没有那么伸展，行星会快速移动。 离太阳更远，比如在位置3和4，这条线被拉伸了很多，行星移动得不那么快。 当火星在绕太阳的椭圆轨道上行驶时，弹性线在椭圆移动时会扫出椭圆的区域（我们图中的彩色区域）。 开普勒发现，在相等的时间间隔 (t) 中，这条虚线在空间中扫出的区域始终相等；也就是说，区域 B 从 1 到 2 的面积与区域 A 从 3 到 4 的面积相同。
如果行星在圆形轨道上移动，则弹性线的拉伸量始终相同，并且行星以恒定的速度绕其轨道移动。 但是，正如开普勒所发现的那样，在大多数轨道上，行星绕恒星运行（或月球绕其行星运行）的速度往往会有所不同，因为轨道是椭圆的。
图：\(\PageIndex{4}\)开普勒第二定律：等域定律。 绕太阳行驶的行星（椭圆内的圆形物体）的轨道速度变化如下：在相等的时间间隔（t）内，太阳和行星之间的一条线会扫出相等的区域（A和B）。 请注意，太阳系中行星轨道的偏心率大大小于此处显示的偏心率。